コピー倍率の算数

コンビニで拡大コピーや縮小コピーをするときにその倍率の数字が単純ではないので迷うことがあります。それはなぜだろうかと考えてみました。

用紙にはA列とB列があります。それぞれA０とB０を基準にして2桁目の数字が1つ増えるごとに前の大きさの半分の大きさになっていきます。二つ折を何回も続けていくイメージです。

それぞれのサイズを一覧表にしてみました。各辺の長さはmm単位で、大きさ（面積）はｍｍ２単位です。

この表を作って初めて気がついたのですが、A０版は約1平方メートルの長方形で、B０版は約1.5平方メートルの長方形でした。

ところで本題の倍率の方ですが、面積欄を下向きに一つずつ見ていくと面積が半分ずつ減っていることがわかります。
これは前にも触れましたように二つ折にしたサイズになるわけですから、半分になって当たり前です。

例えばA３とA４を比べると半分になっています。
ではA４版の原稿をA３に拡大コピーをする場合は倍率は何パーセントにセットすれば良いでしょうか。

２００パーセントですか？ブッブーです。倍率表をご覧下さい。

 

答えは１４１パーセントです。えっ、2倍じゃないのと思われた方が多いと思います。
では倍率の桁数を増やしてヒントを差し上げましょう。１４１.４２１３５６パーセントというのはどうですか。

「ヒトヨヒトヨニヒトミゴロ」。そうです、√２のルートを開いた時の数に100を掛けてパーセントにしています。

コピー機の倍率は面積の倍率を指定するのではなく、辺の長さの倍率を指定するようになっているのです。
A４をA３に拡大するということはA４サイズの長辺と短辺の長さをそれぞれ√2倍にするということなんです。これを開いて100を掛けてパーセント表示しているのがコピー機の倍率です。

本当に面積が2倍になるとき辺の長さが√2倍になるかどうか図形で見てみましょう。
正方形③は正方形①の倍の面積になっています。

一辺の長さがaの正方形①の上に直角二等辺三角形があります。この三角形の底辺以外の辺の長さもaです。
ということは底辺の長さは三平方の定理により√２aとなります。

これで辺の長さが√２倍の正方形③ができているわけですが、今度は本当に面積が2倍になっているかどうかを検証してみましょう。
そのためには補助線を使うとわかりやすくなります。

直角二等辺三角形②の底辺以外の二辺と点線の補助線で囲まれた長方形の面積は正方形①の面積の倍になっています。そのことは一目瞭然だと思います。

ここで正方形③の左半分の三角形に注目していただくと、補助線でできた長方形の面積の二分の一だということがわかります。ということは正方形③は補助線でできた長方形と同じ面積です。
以上のことにより正方形③の面積は正方形①の面積の倍だということが証明できます。

このことによって、用紙の長辺と短辺の長さを√２倍すると面積が2倍になることがわかりました。